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三角形的数学原理及海伦公式推导

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描述:

三角形的数学原理及海伦公式推导


作者:代码灵魂  日期:2019/5/30

三角形的数学原理及海伦公式推导

引言:数学是一切科学的基础在我们所有的设计中,都牵扯数学知识,包括计算,推导,由其是程序中的算法。在三维建模中,三角形是最基本的图形。在空间几何中,将得到普遍的应用。


三角形是构成世界万物的基本形状之一,本篇,我们探讨三角形的数学原理。


同三角形最接近的四边形也是构成世界万物的基本形状之一,其中,四边形可以分解为两个有公共边的三角形,三角形,四边形,以及其它多边形,统称为多边形,即:polygon

其中,三角形是边最少的多边形。


定义:平面中,由不在同一直线上的三个点首尾连接,所构成的图形叫三角形。


三角形与圆之间有密切关系,其中,圆有一个性质,不在同一直线上的三个点,可以构成一个圆。这个圆叫做三角形的外接圆。

因为过三个点的圆有且只有一个,同样,过圆上的三个点构成的在角形,有且只有一个,放在任意的平面中,由三个边确定,发现,其顶点位置也是确定,因此,三角形具有稳定性。即,确定三个边的长度,则该三角形就能被确定。但是,在四边形中,确定四边,却不一定能确定顶点的位置,因此,四边形不具有稳定性。


性质:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

原理:倘若两边之各小于第三边,则两边无法相交,不能形成三角形,同样的等于的话,两边的交点在同一直线上,不符合定义,不能形成三角形。





 



三角形的方程

由于三角形是由三条直线构成的,则有,三条直线两两相交,所构成的公共解,就是这三角形三个定点的坐标。

设三条直线分别为,a,b,c  则三个顶点的坐标,v1,v2,v3 分别为,a,b  b,c   a,c 的解。

即,

  

其三个顶点,坐标,分别为,x,y 相等时,方程组的解。

同样的,知道一个点的坐标和另一个点的一个坐标,解方程也一样,y=xy1/x1


三角形的面积:S=ah/2  (其中,大于90的三角形高不在底边上,是在底边的延长线上。)

三角形的面积2:海伦公式。

S=sqr(p(p-a)(p-b)(p-c))
p=(a+b+c)/2


三角形的周长:l=a+b+c

直角坐标系中,三角形的周长:

因为,L=a+b+c  a=sqr((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)  由勾股定理得。

同理 b=sqr(x2-x3)^2+(y2-y3)^2)  c=sqr(x3-x1)^2+(y3-y1)^2)  

所以 l=sqr((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) +sqr(x2-x3)^2+(y2-y3)^2+sqr(x3-x1)^2+(y3-y1)^2)

其中,sqr 为表达式的算术平方根。


全等三角形:两个三角形三条边分别相等,则该三角形为全等三角形。


海伦三角形面积计算推导公式。用初中数学推(不用初中以上数学的任何内容去推)

 

我们取一个特别一般的三角形,如上图所示,三个顶点对应的三条边分别为a,b,c


我们做如下辅助线,使得平行四边形中,三角形ABC 全等于三角形BCD  

BE,FG,分别为三角形的高。

 

因为:三角形ABC全等于三角形ADC,且CD 平行AB  AD平行 BC

所以:三角形ABC面积=三角形BDC面积 (同底等高。)

S∆ABC=S BCD=

∵:

      勾股定理

   平行四边形性质:对角线互相平分

  由∆ DFG  BDE 相似且二等分边得


  由二等分得。

化简:

    BE为高

S∆ ABC=S∆ BCD= =

=

=

=

     

海伦在这里接着推导,找出面积与周长L的关系 。

设:L=a+b+c   则有:



结论:以初中所学,不应用三角函数,不应用向量,坐标方程等,纯粹以三角形来解题,一般是要用全等着,相似,平行,直角三角形的勾股定理来解,大方向没有做,化简可是容易出问题的啦!


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